Question

（本題滿分14分）

已知函數f（x）=lnx+

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）設mR，對任意的a∈（-l，1），總存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma － (x_o)<0成立，求實數m的取值范圍；

（Ⅲ）證明：ln² l+ 1n²2,+…+ln² n>∈N*）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數的單調遞減區間是.

（Ⅱ）的取值范圍是.

（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）.

令，得，因此函數的單調遞增區間是.

令，得，因此函數的單調遞減區間是.…………（4分）

（Ⅱ）依題意，.

由（Ⅰ）知，在上是增函數，

.

，即對于任意的恒成立.

解得.

所以，的取值范圍是.   …………………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ），

，.

.

即.

又，

.

.

由柯西不等式，.

..     ……………………（14分）

考點：本題主要考查了導數的運算和導數在函數單調性中的應用， 柯西不等式的應用。

點評：較難題，利用導數求函數單調區間的方法，解題時注意函數的定義域，避免出錯