Question

已知數列{a_n}中，a1=2，an=

1+an-1

1-an-1

(n≥2)，且3690共有m個正約數（包含1和自身），則a_m=

1

3

．

Answer 1

分析：通過計算數列{a_n}的前幾項找出規律并求出其通項，再求出3690的正約數的個數，即可求出答案．

解答：解：∵a₁=2，∴a2=

1+2

1-2

=-3，∴a4=

1-3

1+3

=-

1

2

，∴a4=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，∴a5=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．
由此可知：a_n+4=a_n，即數列{a_n}是一個周期為4的數列．
∵3690=1×2×3×3×5×41
∴3690正約數共有5+（

C

2 5

-3）+（

C

3 5

-3）+（

C

4 5

-1）+

C

5 5

=24=m，
∴a24=a4=

1

3

．
故答案為

1

3

．

點評：正確求出數列{a_n}的通項和3690的正約數的個數是解題的關鍵．