Question

已知函數（a＞0，且a≠1），其中為常數．如果 是增函數，且存在零點（為的導函數）．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁<x₂）是函數y＝g（x）的圖象上兩點，（ 為的導函數），證明：．

Answer 1

（1）a＝e （2）證明略

解析:

（Ⅰ）因為，

所以．…………………………3分

因為h（x）在區間上是增函數，

所以在區間上恒成立．

若0<a<1，則lna<0，于是恒成立．

又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1與lna<0矛盾．

所以a>1．

由恒成立，又存在正零點，故△＝（－2lna）²－4lna＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分

以下證明．      （※）

（※）等價于． ………………………11分

令r（x）＝xlnx₂－xlnx－x₂＋x，……………………………13分

r ′（x）＝lnx₂－lnx，在（0，x₂］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x₂］上為增函數．

當x₁<x₂時，r（x₁）< r（x₂）＝0，即，

從而得到證明．…………………………………………15分

對于同理可證

所以．……………………………………16分