Question

（2012•黑龍江）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+a|+|x-2|
（1）當a=-3時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不等式等價于

x≤2 3-x+2-x≥3

，或

2＜x＜3 3-x+x-2≥3

，或

x≥3 x-3+x-2≥3

，求出每個不等式組的解集，
再取并集即得所求．
（2）原命題等價于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-3時，f（x）≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，即①

x≤2 3-x+2-x≥3

，或②

2＜x＜3 3-x+x-2≥3

，
或③

x≥3 x-3+x-2≥3

．
解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命題即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等價于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，
等價于|x+a|≤2，等價于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立．
故當 1≤x≤2時，-2-x的最大值為-2-1=-3，2-x的最小值為0，
故a的取值范圍為[-3，0]．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現了分類討論的數學思想，
屬于中檔題．