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已知f(x)=x+
mx
圖象過點( 2,4 ),
(1)求f(x)解析式與定義域;
(2)判斷f(x)奇偶性;
(3)已知n≥4,f(x)在[a,a+1]有最小值為n,求正數a范圍.
分析:(1)由函數圖象過點(2,4)知f(2)=4,解出m值即可,根據分母不為0可求定義域;
(2)利用奇偶性的定義即可作出正確判斷;
(3)利用數形結合畫出圖象,然后分情況進行討論,結合單調性即可求得a的范圍;
解答:解:(1)因為f(x)的圖象過點(2,4),
所以有f(2)=4,即2+
m
2
=4,解得m=4,
故f(x)=x+
4
x
.定義域為{x|x≠0}.
(2)∵x≠0,f(x)+f(-x)=(x+
4
x
)+(-x+
4
-x
)=0,
所以f(-x)=-f(x),
∴f(x)奇函數.
(3)當x>0時,f(x)在(0,2)上遞減,在(2,+∞)上遞增,f(2)=4,f(1)=f(4)=5.
作出函數f(x)=x+
4
x
在(0,+∞)上的圖象,如下圖所示:
由圖象得①當n=4時,有a≤2≤a+1,解得1≤a≤2.
②當4<n<5時,
若1<a+1<2,即0<a<1,f(x)在[a,a+1]上遞減,fmin(x)=f(a+1)=n,解得a=
n-
n2-16
2
-1.
若2<a<3,f(x)在[a,a+1]上遞增,fmin(x)=f(a)=a+
4
a
=n,解得a=
n+
n2-16
2

③當n≥5時,f(x)在[a,a+1]上遞增,fmin(x)=f(a)=a+
4
a
=n,解得a=
n+
n2-16
2

綜上所述,當當n=4時,1≤a≤2;當4<n<5時,a=
n-
n2-16
2
-1或a=
n+
n2-16
2
;當n≥5時,a=
n+
n2-16
2
點評:本題考查函數的奇偶性、單調性及函數最值的求解,考查分類討論思想數形結合思想,考查學生分析問題解決問題的能力,本題具有一定綜合性.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是二次函數,不等式f(x)<0的解集為(0,5),且在區間[-1,4]上的最大值為12,
(1)求f(x)的解析式;
(2)解關于x的不等式:
2x2+(m-10)x+5f(x)
>1(m<0)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f (x)、g(x)都是定義在R上的函數,如果存在實數m、n使得h (x)=m f(x)+ng(x),那么稱h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的函數.設f (x)=x2+x、g(x)=x+2,若h (x)為f (x)、g(x)在R上生成的一個偶函數,且h(1)=3,則函數h (x)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=sin2ωx+
3
sinωxcosωx
(ω>0)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函數f(x)的單調減區間;
(Ⅲ)若對任意x1x2∈[0,
π
2
]
都有|f(x1)-f(x2)|<m,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=lnx,g(x)=
1
2
ax2+bx(a≠0),h(x)=
2(x-1)
x+1

(1)當a=-2時,函數F(x)=f(x)-g(x)在其定義域范圍是增函數,求實數b的取值范圍;
(2)當x>1時,證明f(x)>h(x)成立;
(3)記函數f(x)與g(x)的圖象分別是C1、C2,C1、C2相交于不同的兩點P,Q,過線段PQ的中點R作垂直于x軸的垂線,與C1、C2分別交于M、N,問是否存在點R,使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行?若存在,試求出R點的坐標;若不存在,試說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知f(x)=|x-2|.
(I)解不等式:xf(x)+3>0;
(II)對任意x∈(-3,3),不等式f(x)<m-|x|成立,求m的取值范圍.

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同步練習冊答案
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