Question

已知f （x）、g（x）都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得h （x）=m f（x）+ng（x），那么稱h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的函數．設f （x）=x²+x、g（x）=x+2，若h （x）為f （x）、g（x）在R上生成的一個偶函數，且h（1）=3，則函數h （x）=

 

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Answer 1

分析：首先依題意求出函數h（x）的解析式，根據函數為偶函數，即h（x）=h（-x），求出m、n的關系式．同時根據h（1）=3，求出另一個m，n的關系式．進而求出m，n的值．代入解析式即可．

解答：解：依題意h（x）=m f（x）+ng（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+mx+nx+2n
又h （x）為偶函數
則有h（x）=h（-x），即mx²+mx+nx+2n=mx²-mx-nx+2n
得出m+n=0
又h（1）=m+m+n+2n=3，即2m+3n=3
則有

m+n=0 2m+3n=3

，解得m=-3，n=3
所以h（x）=mx²+mx+nx+2n=-3x²-3x+3x+6=-3x²+6
故答案為：-3x²+6

點評：本題主要考查函數的奇偶性的運用．解題的關鍵是求出解析式中m和n的值．