Question

已知a，b，c成等差數列，點P（-1，0），點N（3，3），點P在隨機運動的直線ax+by+c=0上的射影為M，若|MN|∈（5-

2

，

17

），則稱M，N為“和諧點”，則M，N成為“和諧點”的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質得到2b=a+c，整理后與直線方程ax+by+c=0比較發現，直線ax+by+c=0恒過Q（1，-2），再由點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，得到PM與QM垂直，利用圓周角定理得到M在以PQ為直徑的圓上，由P和Q的坐標，利用中點坐標公式求出圓心A的坐標，利用兩點間的距離公式求出此圓的半徑r，線段MN長度的最大值即為M與圓心A的距離與半徑的和，由此能求出結果．

解答：解：∵a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
得方程ax+by+c=0恒過Q（1，-2），
又點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ為直徑的圓上，即M的軌跡是圓，
構造三角形ANM，|NM|_max=

17

，|AN|=

5

，R=

2

，由余弦定理知∠PAM=45°，
又有圓的對稱性得另一邊的三角形∠PAM=45°，
所以，M點在圓上運動的軌跡的圓心角為90°為360°的

1

4

，
所以答案應為

1

4

．

點評：此題考查了等差數列的性質，恒過定點的直線方程，圓周角定理，線段中點坐標公式，以及兩點間的距離公式，利用等差數列的性質得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本題的突破點．