Question

已知向量，，其中ω＞0，設函數f（x）=2，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=log₂f（x），求g（x）的定義域和單調遞增區間．
（3）證明：直線x=是g（x）圖象的一條對稱軸．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據向量的數量積運算公式以及兩角和與差的正弦函數求出函數f（x）的表達式，再結合f（x）的最小正周期為π求出ω即可得到f（x）的解析式；
（2）先根據真數大于0結合三角函數的圖象求出函數的定義域；再結合符合函數的單調性即可求出函數的單調遞增區間．（注意是在定義域內）
（3）設在g（x）的定義域中，可得也在g（x）的定義域中；只需要證明即可說明結論．
解答：解：（1）=
∵ω＞0，
∴，
∴ω=1，
∴
（2），
由得：，
∴
∴，
即g（x）的定義域為
∴，
故增區間為．
（3）設在g（x）的定義域中，則對一切k∈Z，有，
∴
∴
∴點也在g（x）的定義域中．
又 ，
∴，故g（x）的圖象關于直線對稱．
點評：本題主要考查平面向量數量積的運算以及兩角和與差的正弦函數和復合函數單調性的應用．在涉及到對數函數問題時，一定要注意定義域的限定，避免出錯．