Question

如圖，為圓的直徑，為垂直于的一條弦，垂足為，弦與交于點(diǎn).

（Ⅰ）證明：四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題考查四點(diǎn)共圓的判定和圓割線的性質(zhì).考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.第一問是證明四點(diǎn)共圓，證明四點(diǎn)共圓的基本方法：1.從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．2.若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．3.把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時(shí)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．4.把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）5.證被證共圓的點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，從而確定它們共圓．既連成的四邊形三邊中垂線有交點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．上述五種基本方法中的每一種的根據(jù)，就是產(chǎn)生四點(diǎn)共圓的一種原因，因此當(dāng)要求證四點(diǎn)共圓的問題時(shí)，首先就要根據(jù)命題的條件，并結(jié)合圖形的特點(diǎn)，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．第二問是等式的證明，這一問中遇到的圓割線的性質(zhì)（從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等）、相似三角形、勾股定理三式聯(lián)立，證明等式成立.

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)，則．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103123075812574874/SYS201310312308540147601567_DA.files/image003.png">，所以．      

所以，即四點(diǎn)共圓．                                  5分

 

（Ⅱ）連結(jié)．由四點(diǎn)共圓，所以．在中，，，所以．            10分

考點(diǎn)：1.四點(diǎn)共圓的判斷；2.圓割線的性質(zhì).