Question

學習曲線是1936年美國廉乃爾大學T．P．Wright博士在飛機制造過程中，通過對大量有關資料、案例的觀察、分析、研究，首次發現并提出來的．已知某類學習任務的學習曲線為：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t））為掌握該任務的程度，t為學習時間），且這類學習任務中的某項任務滿足f（2）=60%
（1）求f（t）的表達式，計算f（0）并說明f（0）的含義；
（2）已知2^x＞xln2對任意x＞0恒成立，現定義

f(t)

t

為該類學習任務在t時刻的學習效率指數，研究表明，當學習時間f∈（1，2）時，學習效率最佳，當學習效率最佳時，求學習效率指數相應的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(t)=  

3

4+a•2-t

 ×100%，及f（2）=60%代入可求a，進而可求f（t），f（0），f（0）表示某項學習任務在開始學習時已掌握的程度
（2）令學習效率指數y=

f(t)

t

，y=

f(t)

t

=

3

4t(1+2-t)

=

3

4(t+ t 2t )

（t＞0），利用函數的導數研究g(t)=

t

2t

+t 的單調性，進而可求函數g（t）在（1，2）上的值域即學習效率指數相應的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(t)=  

3

4+a•2-t

 ×100%，且f（2）=60%

3

4+a•2-t

×100%=60%，可得a=4
∴f（t）=

3

4(1+2-t)

，(t≥0)
∴f(0)=

3

4(1+1)

=

3

8

=37.5%
f（0）表示某項學習任務在開始學習時已掌握的程度為37.5% （4分）
（2）令學習效率指數y=

f(t)

t

，
y=

f(t)

t

=

3

4t(1+2-t)

=

3

4(t+ t 2t )

（t＞0）
現研究g(t)=

t

2t

+t 的單調性
g′(t)=1+

2t-t•2tln2

2t

=

2t-tln2+1

2t

（t＞0）（6分）
又已知x＞0時，2^x＞xln2恒成立
所以2^t-tln2＞0恒成立
∴g（t）在（0，+∞）上為增函數且g（t）為正數
∴y=

f(t)

t

=

3

4(t+ t 2t )

在(0，+∞ )上為減函數．  （8分）
而y|t=1=

f(1)

1

=

1

2

，y|t=2=

f(2)

2

=

3

10

∴y=

f(t)

t

∈(

3

10

，

1

2

)
故所求學習效率指數的取值范圍是（

3

10

，

1

2

） （10分）

點評：本題以新定義為載體主要考查了利用函數的導數判斷函數的單調性及利用單調性求解函數的值域，屬于知識的簡單運用．