Question

【題目】已知橢圓:的上頂點為，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設是曲線上的動點，關于軸的對稱點為，點，直線與曲線的另一個交點為(與不重合)，過作直線，垂足為，是否存在定點，使為定值？若存在求出的坐標，不存在說明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定點，使為定值.

【解析】

（1）由已知得到a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標準方程；（2）設直線方程為：，設,，先求出直線方程為：,再求得直線與軸的交點為定點，又，取的中點，則，為定值.即得解.

解:（1），， ，

橢圓方程為

（2）設直線方程為：，設,則

由消去得，

∴，

∴ ，,

的中點坐標為，直線的斜率

所以直線方程為：,

即,

令，得,

=;

∵，，

所以， ==,

==

∴==

即直線與軸的交點為定點，又，取的中點，

則，為定值.

所以存在定點，使為定值.