Question

（14分）對于函數,若存在，使成立，則稱點，

為函數的不動點.

（1）若函數有不動點,求的解析表達式;

（2）若對于任意實數,函數總有2個相異的不動點,求實數的取值范圍;

（3）若定義在上的函數滿足,且存在(有限的)個不動點,求證:必為奇數.

Answer 1

解(1)由不動點定義有即  ………………(2分)

將代入得：       解得. 

此時         …………………………………………………………… (4分)

(2)由條件知,對任意的實數,方程總有兩個相異的實數根.

∴恒成立             ……………………………………(6分)

即對任意實數,  恒成立.

從而, 解得……………………………………… (9分)

(3)顯然點是函數在上的一個不動點………………………………… (10分)

若有異于的不動點,.則,

又則也是在上的一個不動點………(12分)

所以, 的有限個不動點除原點外,都是成對出現的,有個,則在上

共有個不動點.因此,為奇數…………………………………………………(14分)