Question

對于函數，若存在，使，則稱是的一

個＂不動點＂.已知二次函數

（1）當時，求函數的不動點；

（2）對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的圖象上兩點的橫坐標是的不動點，

且兩點關于直線對稱，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（2）（3）

【解析】（1）將a、b代入函數，根據條件“若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點”建立方程解之即可；

（2）對任意實數b，f（x）恒有兩個相異不動點轉化成對任意實數b，ax²+（b+1）x+b-1=x恒有兩個不等實根，再利用判別式建立a、b的不等關系，最后將b看成變量，轉化成關于b的恒成立問題求解即可．

(3)在（2）的條件下，可得由得,由題意知，，從而可確定AB的中點E的坐標，從而可得,整理后得，這樣就轉化為b關于a的函數問題來解決即可.

解：（1），是的不動點，則，

得或，函數的不動點為和．……………… 3分

（2）∵函數恒有兩個相異的不動點，∴恒有兩

個不等的實根，對恒成立，

∴，得的取值范圍為．  …………7分

（3）由得，由題知，，

設中點為，則的橫坐標為，∴，

∴，當且僅當，即時等號

成立，

∴的最小值為．………………………… 12分