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函數y=
2x-1
-x
的值域是
(-∞,1]
(-∞,1]
分析:令t=
2x-1
≥0,將函數轉化成關于t的一道定函數在定區間上的值域問題,結合函數的圖象及函數在區間上的單調性,求得相應的最值,從而得函數的值域.
解答:解:由于函數y=
2x-1
-x
的定義域為[
1
2
,+∞),令t=
2x-1
≥0,可得 x=
t2+1
2

∴函數y=
2x-1
-x
=t-
t2+1
2
,即 y=-
1
2
t2+t-
1
2
,此二次函數的對稱軸為x=1,開口向下.
故當t=1時,函數有最大值為 1,當 t趨于+∞時,y趨于-∞.
故函數y=
2x-1
-x
的值域是(-∞,1],
故答案為 (-∞,1].
點評:本題主要考查求函數的值域的方法,以及二次函數的性質的應用.換元法是一種重要的數學解題方法,掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想,發現與構造出變換式,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

函數y=2x+1+
x-1
的值域為
[3,+∞)
[3,+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知問題“設正數x,y滿足
1
x
+
2
y
=1
,求x+y的最值”有如下解法;
1
x
=cos2α,
2
y
=sin2α,α∈(0,
π
2
)

則x=sec2α=1+tan2α,y=2csc2α=2(1+cot2α),
所以,x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+
2
tan2α
≥3+2
2
,等號成立當且僅當tan2α=
2
tan2α
,即tan2α=
2
,此時x=1+
2
,y=2+
2

(1)參考上述解法,求函數y=
1-x
+2
x
的最大值.
(2)求函數y=2
x+1
-
x
(x≥0)
的最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•莆田模擬)如圖,邊長為3(百米)的正方形ABCD是一個觀光區的平面示意圖,中間葉形陰影部分MN是一片人工湖,它的左下方邊緣曲線段MN為函數y=
2x
(1≤x≤2)
的圖象.為了便于游客觀光,擬在觀光區內鋪設一條穿越該區域的直路l(寬度不計),其與人工湖左下方曲線段MN相切(切點記為P),并把該區域分為兩部分.現直路l左下部分區域規劃為花圃,記點P到邊AD距離為t,f(t)表示花圃的面積.
(1)求直路l所在的直線與兩坐標軸的交點坐標;
(2)求面積f(t)的解析式;
(3)請你制定一個鋪設方案,使得花圃面積最大,并求出最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數y=
2x+1(x<0)
1(x=0)
x2+1(x>0)
編寫程序,輸入自變量x的值,輸出其相應的函數值,并畫出程序框圖.

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