Question

函數y=

2x-1

-x的值域是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：令t=

2x-1

≥0，將函數轉化成關于t的一道定函數在定區間上的值域問題，結合函數的圖象及函數在區間上的單調性，求得相應的最值，從而得函數的值域．

解答：解：由于函數y=

2x-1

-x的定義域為[

1

2

，+∞），令t=

2x-1

≥0，可得 x=

t2+1

2

，
∴函數y=

2x-1

-x=t-

t2+1

2

，即 y=-

1

2

t²+t-

1

2

，此二次函數的對稱軸為x=1，開口向下．
故當t=1時，函數有最大值為 1，當 t趨于+∞時，y趨于-∞．
故函數y=

2x-1

-x的值域是（-∞，1]，
故答案為 （-∞，1]．

點評：本題主要考查求函數的值域的方法，以及二次函數的性質的應用．換元法是一種重要的數學解題方法，掌握它的關鍵在于通過觀察、聯想，發現與構造出變換式，屬于基礎題．