Question

（本小題滿分14分）

設數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立，記。

（Ⅰ）求數列與數列的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，是否存在正整數，使得成立？若存在，找出一個正整數；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）記，設數列的前項和為，求證：對任意正整數都有。

Answer 1

（Ⅰ），

（Ⅱ）不存在正整數，使得成立，理由見解析。

（Ⅲ）證明見解析。

解析:

（Ⅰ）當時，

又

∴數列是首項為，公比為的等比數列，

∴，……………………………3分

（II）不存在正整數，使得成立。

證明：由（I）知

∴當n為偶數時，設

∴

當n為奇數時，設

∴

∴對于一切的正整數n，都有

∴不存在正整數，使得成立。………………………………8分

（III）由得

又，

當時，，

當時，

 …………………14分