Question

某市環(huán)境研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系為，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，]．若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（Ⅰ）令，x∈[0，24]，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)M（a）；
（Ⅲ）為加強(qiáng)對(duì)環(huán)境污染的整治，市政府規(guī)定每天的綜合環(huán)境污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是多少？是否超標(biāo)？

Answer 1

解：（Ⅰ），． 　…
（Ⅱ）令．
當(dāng)時(shí)，． …
當(dāng)時(shí)，． …
M（a）=…
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，M（a）是增函數(shù)，…
當(dāng)時(shí)，M（a）是增函數(shù)，．…
所以，市中心污染指數(shù)沒有超標(biāo) …
分析：（I）根據(jù)x的取值范圍求出的取值范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)從而可求出t的取值范圍；
（Ⅱ）由（I）化簡f（x）的解析式，討論a的范圍，去掉絕對(duì)值，從而求出函數(shù)M（a）；
（Ⅲ）根據(jù)分段函數(shù)，分別研究每段上的最大值，然后與2進(jìn)行比較，從而確定是否超標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，以及利用單調(diào)性求最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．