已知函數f（x）滿足： $數學公式$ ，則f（2012）=

A.
$數學公式$
B.
$數學公式$
C.
$數學公式$
D.
$數學公式$

B
分析：由于題目問的是f（2012），項數較大，故馬上判斷函數勢必是周期函數，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．
解答：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）= $\text{[math]}$
法一：∵f（1）= $\text{[math]}$
取x=1，y=1得f（2）=- $\text{[math]}$
取x=2，y=1得f（3）=- $\text{[math]}$
取x=2，y=2得f（4）=- $\text{[math]}$
取x=3，y=2得f（5）=- $\text{[math]}$
取x=3，y=3得f（6）= $\text{[math]}$
猜想得周期為6
∴f（2012）=f（2）=- $\text{[math]}$
法二：取x=1，y=0得f（0）= $\text{[math]}$
取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數是周期函數，周期T=6，
故f（2012）=f（2）=- $\text{[math]}$
故選B
點評：準確找出周期是此類問題（項數很大）的關鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時根據自己熟悉的方法得出即可．

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．
（1）若n∈N^*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=

nf(n+1)

f(n)

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+…+

．

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24．

．

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A．

B．

C．

D．

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高中

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