Question

已知二項式（2+x）ⁿ的展開式中，x³的系數為160，則展開式中常數項為

64

．

Answer 1

分析：先寫出展開式的 通項，令x的指數為3求出展開式中x³的系數．，結合系數的特點可討論求解滿足題意的n，然后代入通項，令x的指數為0，可求

解答：解：∵（2+x）ⁿ的展開式的通項為Tr+1=

C

r n

2n-rxr
令r=3可得，T4=

C

3 n

2n-3x3
∴

C

3 n

2n-3=160
即

n(n-1)(n-2)

6

2n-3=160
∴n（n-1）（n-2）•2^n-3=2⁶×5×3=960
結合式子兩邊的特點可知，n（n-1）（n-2）一定是5的倍數
當n=5時，左邊60•2³≠2⁶×15=右面，舍去
當n-1=5即n=6時，左邊=120•2³=960=右面，符合題意
當n-2=5即n=7時，左邊=210×2⁴≠960，不符合題意
綜上可得，n=6
令r=0可得，常數項為

C

0 n

2n=2⁶=64，
故答案為64

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于中檔題．