Question

已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點M(0，2)作直線與直線垂直，試判斷直線與橢圓的位置關系5
(3)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1)  ;(2)相切；(3) 存在，.

解析試題分析：(1)通過橢圓性質列出的方程，其中離心率,分析圖形知道當點P在短軸端點時，面積取得最大值，所以,橢圓中,從而建立關于的方程，解出;即得到橢圓的標準方程(2)列出過定點直線的方程，其與直線垂直，求出其斜率，聯立橢圓方程，得出，寫出關系；(3)對于存在性的問題，要先假設存在，先設存在這樣的點，,結合圖形知道要先討論,當時，明顯切線不垂直，當時，先設切線，與橢圓方程聯立，利用，得出關于斜率的方程，利用兩根之積公式，解出點坐標.即值.此題為較難題型，分類討論時要全面.
試題解析：(1)因為點在橢圓上，所以
因此當時，面積最大，且最大值為
又離心率為即
由于，解得
所求橢圓方程為.
(2)由(1)知,
直線的斜率等于，直線的方程，
由消去，整理得，
直線與橢圓相切.
(3)假設直線上存在點滿足題意，設，顯然當時，從點所引的兩條切線不垂直.
當時，設過點向橢圓所引的切線的斜率為，則的方程為
由消去，整理得：

所以，      *
設兩條切線的斜率分別為，顯然，是方程的兩根，故：
解得：，點坐標為或
因此，直線上存在兩點和滿足題意.
考點：1.橢圓的性質與標準方程；2.直線垂直的判斷；3.存在性問題的求解;4.直線與橢圓的位置關系的判斷.