Question

若球O的球面上共有三點A、B、C，其中任意兩點間的球面距離都等于大圓周長的，經過A、B、C這三點的小圓周長為，則球O的體積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由條件：“經過A、B、C這三點的小圓周長為，”得出正三角形ABC的外接圓半徑r=，再結合球的性質知：三角形ABC的外接圓半徑r、球的半徑、球心與三角形ABC的外接圓的圓心的連線構成直角三角形，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出球半徑R．
解答：解：因為正三角形ABC的外徑r=，故高AD=，D是BC的中點．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得R²=R²+，所以R=3．
則球O的體積為：36π
故答案為：36π．
點評：本題考查學生的空間想象能力，以及對球的性質認識及利用，是基礎題．此類題的解法是：充分利用圖形的特點構造三角形，根據球的性質結合解三角形解決問題．