Question

把公差為2的等差數列{a_n}的各項依次插入等比數列{b_n}的第1項、第2項、…第n項后，得到數列{c_n}：b₁，a₁，b₂，a₂，b₃，a₃，b₄，a₄，…，記數列{c_n}的前n項和為S_n，已知c₁=1，c₂=2，S₃=．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）求數列{c_n}的第2010項c₂₀₁₀；
（3）設T_n=2010•b_n+a_n，閱讀框圖寫出輸出項，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，b₁=1，a₁=2，
，故…（1分）
所以a_n=2n，…（2分），總計（3分）
（2）數列{c_n}中的第2010項即數列{a_n}中的第1005項，
于是c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；…（3分）
（3）由于
所以
∴=
當n＞5時T_n+1-T_n＞0{S_n}遞增
當n≤5時T_n+1-T_n＜0{S_n}遞減
通過計算T₄=39.41，T₅=17.85，T₆=13.96，T₇=14.49，T₈=16.12
所以滿足條件T_n＜15的項只有兩項：T₆，T₇…（4分）
分析：（1）根據題意，c₁=b₁=1，c₂=a₁=2，再根據S₃可以計算出，從而得出等比數列{b_n}的公比，最后根據等差數列和等比數列的通項公式，求出數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）數列{c_n}中各項的特征：{c_n}中的第2k（k為正整數）項即數列{a_n}中的第k項，從而得出c₂₀₁₀=a₁₀₀₅=2010；
（3）由（1）中{a_n}、{b_n}的通項公式，得出，得出T_n+1的表達式，通過計算T_n+1與T_n+的差，
發現當n＞5時T_n+1-T_n＞0，{S_n}遞增，當n≤5時T_n+1-T_n＜0，{S_n}遞減滿．由以上分析可得：滿足條件T_n＜15的項只有兩項：T₆，T₇．
點評：本題考查了數列與不等式的綜合，以及數列的函數特征，屬于難題．深刻理解等差數列與等比數列的區別與聯系，準確運用通項公式，研究數列的單調性，是解決本題的關鍵．