Question

給出以下命題：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2且y＜3，則x+y＜5”；
②若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，則點（a，b）一定在圓x²+y²=4外；
③“?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，則1＜a＜9；
④某人向一個圓內投鏢，則鏢扎到該圓的內接正三角形區域內的概率為

3 3

4π

．
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①根據“p且q”的否定為“非p或非q”，可得命題①的正確與否；②因為直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，計算出圓心到直線的距離并且與半徑比較大小，進而整理可得a²+b²＜4，所以點（a，b）一定在圓x²+y²=4內； ③由題意可得不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，即1＜a＜9；④設圓的半徑為r，內接正三角形的邊長為a，則a=

3

r，分別計算出三角形與圓的面積，再根據幾何概率模型可得④正確．

解答：解：對四個命題分別加以判別：
①命題“若x≥2且y≥3，則x+y≥5”的否命題為“若x＜2或y＜3，則x+y＜5”，故錯誤；
②因為直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有公共點，所以圓心到直線的距離 d=

4

a2+b2

＞2=r，
整理可得a²+b²＜4，所以點（a，b）一定在圓x²+y²=4內，所以②錯誤．
③因為不等式ax²+（a-3）x+1＞0恒成立，
所以“?x₀∈R，使得ax₀²+（a-3）x₀+1≤0”是假命題，即1＜a＜9，所以③正確．
④設圓的半徑為r，內接正三角形的邊長為a，則a=

3

r，所以內接正三角形的面積為

3 3 r2

4

，圓的面積為πr²，根據幾何概率模型可得所以鏢扎到該圓的內接正三角形區域內的概率為

3 3

4π

，所以④正確．
故答案為：③④．

點評：本題主要考查命題真假的判斷與應用，屬于中檔題．解決此類問題的關鍵是熟練掌握基礎知識，即解含絕對值的不等式，恒成立問題，存在性命題與幾何概率模型等知識點．