Question

已知f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，若x∈[

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2

，1]時(shí)，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[-2，2]
• B、[-2，0]
• C、[0，2]
• D、（-2，2）

Answer 1

分析：由已知中f（x）是偶函數(shù)，，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，由偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，易得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，又由若x∈[

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，1]時(shí)，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，結(jié)合函數(shù)恒成立的條件，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)
x-2∈[-

3

2

，-1]
故f（x-2）≥f（1）
若x∈[

1

2

，1]時(shí)，不等式f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，
則當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，|ax+1|≤1恒成立
解得-2≤a≤0
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，其中根據(jù)已知條件結(jié)合偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，證得f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，進(jìn)而給出x∈[

1

2

，1]時(shí)f（x-2）的最小值，是解答本題的關(guān)鍵．