Question

已知正三角形PAD所在的平面與直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2，AB=4．求證：
（1）AB⊥PD
（2）求點C到平面PAD的距離
（3）在線段PD上是否存在一點M，使得AM∥平面PBC．

Answer 1

證明：（1）∵面PAD⊥面ABCD
面PAD∩面ABCD=AD
AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD
∵PD?面PAD
∴AB⊥PD；
（2）由V_C-PAB=V_P-ABC
即
（或過D作PA的垂線，求垂線段的長）
（3）假設PD上存在點M，使得AM∥平面PBC．
在平面PDC內過點M作MN∥DC交PC于N，連接BN，
則∵AM∥面PBC，AM?面PBC
∴AM∥NB
又MN∥CD，CD∥AB
∴MN∥AB
所以平面AMNB是平行四邊形
所以MN=AB
這與MN＜CD＜AB矛盾，
所以假設不成立，
即在線段PD上不存在一點M，使得AM∥平面PBC．
分析：（1）由于正三角形PAD所在的平面與直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，從而有AB⊥PD；
（2）利用體積相等V_C-PAB=V_P-ABC，可求點C到平面PAD的距離；
（3）利用反證法．假設PD上存在點M，使得AM∥平面PBC．在平面PDC內過點M作MN∥DC交PC于N，連接BN，從而可得平面AMNB是平行四邊形，所以MN=AB，這與MN＜CD＜AB矛盾，從而可知在線段PD上不存在一點M，使得AM∥平面PBC．
點評：本題以面面垂直為載體，考查證明線面平行、線面垂直的方法，體現了數形結合的數學思想，考查反證法．