Question

已知P在矩形ABCD邊DC上，AB=2，BC=1，F在AB上且DF⊥AP，垂足為E，將△ADP沿AP折起．使點D位于D′位置，連D′B、D′C得四棱錐D′-ABCP．
（I）求證D′F⊥AP；
（II）若PD=1并且平面D′AP⊥平面ABCP，求四棱錐D′-ABCP的體積．

Answer 1

分析：（1）此題屬于“折疊”問題，解決這類問題的關鍵就在于緊緊把握住在兩個折疊面內的垂直關系，因為這種關系是不變的．比如圖中的AP⊥D'E，AP⊥EF，所以其實不管平面D'EF折疊到什么位置，AP⊥平面D'EF總是成立的，故AP⊥D'F也總是成立的
（2）解決棱錐求體積的問題，關鍵在于找到合適的高與對應的底面，切忌不審圖形，盲目求解；由題目條件：平面D′AP⊥平面ABCP易得所求棱錐的高即為D'E，所以底面就是梯形ABCP，再運用棱錐體積公式就可以了

解答：證明：（I）∵AP⊥D'E，AP⊥EF，又∵D'E，EF是面D'EF內兩相交直線∴AP⊥平面D'EF，∴AP⊥D'F（7分）
（II）∵PD=1，∴四邊形ADPF是邊長為1的正方形，
∴D′E=DE=EF=

2

2

，
∵平面D'AP⊥平面ABCP，D'E⊥AP，
∴D'E⊥平面ABCP，（11分）
∵S梯形ABCP=

1

2

×(1+2)×1=

3

2

，
∴VD′-ABCP=

1

3

×D′E×S梯形ABCP=

2

4

（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．