Question

【題目】如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為α的角形耕地，其中tanα＝－2．在該塊土地中P處有一小型建筑，經測量，它到公路AM，AN的距離分別為3km，km．現要過點P修建一條直線公路BC，將三條公路圍成的區域ABC建成一個工業園．為盡量減少耕地占用，問如何確定B點的位置，使得該工業園區的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

【答案】當AB＝5km時，該工業園區的面積最小，最小面積為15km2．

【解析】試題分析：先確定點P的位置，再利用BC的斜率表示工業園區的面積，利用導數求其最值.以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系．因為tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．設點P(x0，y0)．因為點P到AM的距離為3，故y0＝3．由P到直線AN的距離為，得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以點P(1，3)．顯然直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得xB＝1－．由解得yC＝．設△ABC的面積為S，則S＝xB×yC＝．由S＝＝0得k＝－或k＝3．所以當k＝－時，即AB＝5時，S取極小值，也為最小值15．

試題解析：解：

如圖1，以A為原點，AB為x軸，建立平面直角坐標系．

因為tanα＝－2，故直線AN的方程是y＝－2x．

設點P(x0，y0)．

因為點P到AM的距離為3，故y0＝3．

由P到直線AN的距離為，

得，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，

所以點P(1，3)． 4分

顯然直線BC的斜率存在．設直線BC的方程為y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．

令y＝0得xB＝1－． 6分

由解得yC＝． 8分

設△ABC的面積為S，則S＝×xB×yC＝10分

由S＝＝0得k＝－或k＝3．

當－2＜k＜－時，S＜0，S單調遞減；當－＜k＜0時，S＞0，S單調遞增． 13分

所以當k＝－時，即AB＝5時，S取極小值，也為最小值15．

答：當AB＝5km時，該工業園區的面積最小，最小面積為15km2． 16分