Question

 

已知定義在上的函數滿足：，且對于任意實數，總有成立．

   （1）求的值，并證明為偶函數；

   （2）若數列滿足，求數列的通項公式；  

   （3）若對于任意非零實數，總有．設有理數滿足，判斷 和 的大小關系，并證明你的結論．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解:（1）令，，又，．

令，得 ，即

對任意的實數總成立， 為偶函數．                

   （2）令，得 ，，．

．                                       

令，得，

．                                        

 

是以為首項，以為公比的等比數列．                          

∴．                                                      

   （3）結論：．                                               

證明：∵時，,

∴，即．

∴令（），故，總有

成立．

則∴對于，總有成立．                            

∴對于，若，則有成立．

∵，所以可設，其中是非負整數，都是正整數，則，令，，則．

∵，∴，∴，即．           

∵函數為偶函數，∴．

∴．