Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，.

（1）證明：平面平面；

（2）若與平面所成的角為，，求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）在中，由余弦定理得 ，根據勾股定理可證得，因為，所以平面，由面面垂直的判斷定理可得平面平面；（2）取的中點，連接，，可得，根據面面垂直的性質定理可得平面，找到與平面所成的角，求得，，，根據線面平行可得到平面的距離即為點到平面的距離，在三棱錐中，根據等體積變換即可求得點到平面的距離.

試題解析：（1）在中，由余弦定理得，

因為，，所以 ，

所以，即，

又因為，，所以平面，

因為平面，所以平面平面．

（2）取的中點，連接，，因為，所以，由（Ⅰ）知平面平面，交線為，所以平面，

由，得，，，因為與平面所成的角為，所以，得，所以，，

因為∥，所以∥平面，故點到平面的距離即為點到平面的距離，

在三棱錐中，有，即，

求得，所以點到平面的距離為．