Question

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=1，N為AB上一點，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖．
則P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0），

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
∵

CM

?

SN

=(1，-1，

1

2

)?(-

1

2

，-

1

2

，0)=0，
∴CM⊥SN．
（Ⅱ）設(shè)

m

=(0，0，1)為平面CBA的法向量，

CB

=(2，-1，0)，

PC

=(0，1，-1)，
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PCB的一個法向量
則

2x-y=0 y-x=0

令x=1得

n

=(1，2，2，)，
cos?＜

m

，

n

＞=

m ? n

|m| |n|

=

2

3

，
二面角P-CB-A的余弦值為

2

3

．
（Ⅲ）同理可得平面CMN的一個法向量

a

=(2，1，-2)
設(shè)直線SN與平面CMN所成角為θ，
∵sinθ=|cos＜

SN

，

a

＞|=

2

2

，
∴SN與平面CMN所成角為45°．