Question

求下列函數的值域：

(1)y＝5＋；

(2)若為實數，求y＝x²＋2x＋3的值域；

(3)y＝2x＋4；

(4)y＝；

(5)y＝x＋5，x∈(－6，7)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵∈[0，＋∞)， 　　∴f(x)∈[5，＋∞)， 　　即函數y＝5＋的值域是{y|y≥5}． 　　(2)由題設知x≥0，又y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 　　∴當x＝0時，ymin＝3，函數無最大值． 　　∴函數y＝x2＋2x＋3的值域是{y|y≥3}． 　　(3)設t＝，則t≥0，且x＝1－t2， 　　代入y＝2x＋4，得 　　y＝2×(1－t2)＋4t＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4． 　　∵t≥0，∴y≤4． 　　∴函數y＝2x＋4的值域是{y|y≤4}． 　　(4)[方法1]由y＝，得 　　(y－1)x2＋(y＋1)＝0．① 　　當y＝1時， 　　若方程①有解，則必有即即 　　即函數y＝的值域為[－1，1)． 　　[方法2]由y＝得x2＝． 　　∵x2≥0，∴≥0，即 　　(Ⅰ)或(Ⅱ)． 　　解(Ⅰ)得解集為空集，解(Ⅱ)得－1≤y＜1， 　　即函數y＝的值域為[－1，1)． 　　(5)由y＝x＋5，得x＝y－5， 　　∵x∈(－6，7)， 　　∴－6＜x＜7，即－6＜y－5＜7． 　　∴－1＜y＜12，即函數的值域為(－1，12)． 　　思路分析：求函數的值域時要根據函數解析式的結構來選擇適當的求值域的方法．(1)的結構比較簡單，可用分析、觀察法求值域；(2)是二次函數型函數，可用配方法求函數的值域；(3)則采用換元法求函數的值域；(4)既可以利用判別式法求解，也可以利用反表示法求解；(5)利用不等式法求解．