Question

在平面直角坐標系xoy中，曲線C₁的參數方程為 

x=acosφ y=bsinφ

（a＞b＞0，?為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線C₁上的點M（1，

3

2

）對應的參數φ=

π

3

，曲線C₂過點D（1，

π

3

）．
（I）求曲線C₁，C₂的直角坐標方程；
（II）若點A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+

π

2

） 在曲線C₁上，求

1

ρ 21

+

1

ρ 22

的值．

Answer 1

（I）將M(1，

3

2

)及對應的參數?=

π

3

，代入

x=acos? y=bsin?

，得

1=acos π 3 3 2 =bsin π 3

，即

a=2 b=1

，
所以曲線C₁的方程為

x2

4

+y2=1．
設圓C₂的半徑為R，由題意圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R² ．
由D的極坐標 (1，

π

3

)，得D(

1

2

，

3

2

)，代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
所以曲線C₂的方程為（x-1）²+y² =1．
（II）因為點A（ρ₁，θ），B(ρ2，θ+

π

2

)在曲線C₁上，又點A的直角坐標為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
點B的橫坐標為ρ₂ cos（θ+

π

2

）=-ρ₂sinθ，點B的縱坐標為ρ₂sin（θ+

π

2

）=ρ₂cosθ，
所以

ρ 21 cos2θ

4

+

ρ

21

sin2θ=1，

ρ 22 sin2θ

4

+

ρ

22

cos2θ=1，
所以

1

ρ 21

+

1

ρ 22

=(

cos2θ

4

+sin2θ)+(

sin2θ

4

+cos2θ)=

5

4

．（10分）