Question

（05年廣東卷）（14分）

在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點Ａ、Ｂ滿足（如圖４所示）

（Ⅰ）求得重心（即三角形三條中線的交點）

的軌跡方程；

（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出

最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析: 解法一：

（Ⅰ）∵直線的斜率顯然存在，∴設直線的方程為，

，依題意得

   ，①

∴，②　   ③

 ∵，∴，即 ，④

由③④得，，∴

∴設直線的方程為

∴①可化為    ，∴     ⑤，

設的重心G為，則

    ⑥ ，      ⑦，

由⑥⑦得   ，即，這就是得重心的軌跡方程．

（Ⅱ）由弦長公式得

把②⑤代入上式，得   ，

設點到直線的距離為，則，

∴ ，

∴ 當，有最小值，

∴的面積存在最小值，最小值是 ．

 

解法二：

（Ⅰ）∵  AO⊥BO, 直線，的斜率顯然存在，

　　　∴設AO、BO的直線方程分別為，，

設，，依題意可得

　　　由得　，由得　，

設的重心G為，則

    　① ， 　　②，

由①②可得，，即為所求的軌跡方程.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，

∴

              ，

當且僅當，即時，有最小值，

∴的面積存在最小值，最小值是 .

 

 

解法三:（I）設△AOB的重心為G(x , y) ，A(x1, y₁)，B(x₂ , y₂ )，則

    　　　　　　…（1）

不過∵OA⊥OB ，

∴，即，　 …（2）

又點A，B在拋物線上，有，

代入（2）化簡得，

∴，

∴所以重心為G的軌跡方程為，

（II），

由（I）得，

當且僅當即時，等號成立，

 

所以△AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1 ．