Question

設A，B，C為△ABC的三個內角，其對邊分別a，b，c.

m

=(sin

A

2

，-cos

A

2

)，

n

=(sin

A

2

，cos

A

2

)，a=2

3

，且

m

•

n

=-

1

2

．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標表示可得，

m•

n

=sin2

A

2

-cos2

A

2

=-cosA=-

1

2

，結合A為三角形的內角求A．
（2）利用面積公式S=

1

2

bcsinA，代入已知可求bc=4，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA．可求b+c．

解答：解：（Ⅰ）

m

•

n

=sin2

A

2

-cos2

A

2

=-(cos2

A

2

-sin2

A

2

)=-cosA=-

1

2

，
∴cosA=

1

2

．（4分）
∵A為三角形內角，
∴A=

π

3

．（6分）
（Ⅱ）S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=

3

，∴bc=4．（8分）
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA．
即12=b²+c²-bc．（10分）
∴12=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12．
∴（b+c）²=24．
∴b+c=2

6

．（13分）

點評：本題以向量的數量積的坐標表示為載體，主要考查了二倍角的余弦，余弦定理，三角形的面積公式的綜合運用，解決此類問題，不但要熟練掌握基本公式，基本運算，還要具備綜合運用知識的推理的能力．