Question

學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戲中，
（i）摸出3個白球的概率；
（ii）獲獎的概率；
（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎次數X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）（i）甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，事件數是C₅²C₃²，摸出3個白球事件數為
C₃²C₂¹C₂¹；由古典概型公式，代入數據得到結果，（ii）獲獎包含摸出2個白球和摸出3個白球，且它們互斥，根據（i）求出摸出2個白球的概率，再相加即可求得結果，注意運算要正確，因為第二問要用本問的結果．（II）連在2次游戲中獲獎次數X的取值是0、1、2，根據上面的結果，代入公式得到結果，寫出分布列，求出數學期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）設“在一次游戲中摸出i個白球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），則
P（A₃）=

c 2 3

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

= 

1

5

，
（ii）設“在一次游戲中獲獎”為事件B，則B=A₂∪A₃，又
P（A₂）=

c 2 3

c 2 5

•

c 2 2

c 2 3

+

c 1 3 c 1 2

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

=

1

2

，
且A₂、A₃互斥，所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=

1

2

+

1

5

=

7

10

；
（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．
P（X=0）=（1-

7

10

）²=

9

100

，
P（X=1）=C₂¹

7

10

（1-

7

10

）=

21

50

，
P（X=2）=（

7

10

）²=

49

100

，
所以X的分布列是


X的數學期望E（X）=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

點評：此題是個中檔題．本題考查古典概型及共概率計算公式，離散型隨機變量的分布列數學期望、互斥事件和相互獨立事件等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力．