Question

P為橢圓上一點，F₁、F₂是橢圓的左、右焦點，若使△F₁PF₂為直角三角形的點P共有8個，則橢圓離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由于分別過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓的交點P可構成四個直角三角形．欲使△F₁PF₂為直角三角形的點P共有8個，由橢圓的幾何性質可知，當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，必須∠F₁PF₂＞90°，此時 ＜0，∴，由此能夠推導出該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：由題意可知，分別過焦點且垂直于x軸的直線與橢圓的交點P可構成四個直角三角形．
而當點P位于（0，b）或（0，-b）處時，∠F₁PF₂最大，
由條件：欲使△F₁PF₂為直角三角形的點P共有8個，必須∠F₁PF₂＞90°，
故 ＜0，⇒，
∴，
又∵0＜e＜1，∴．
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的性質及其應用、余弦定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．