Question

在平面直角坐標系中，點A（4，-2）是直角△OAB的直角頂點，O是坐標原點，點B在x軸上．
（1）求直線AB的方程； 
（2）求△OAB的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由點A和原點坐標，求出直線OA的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出直線AB的斜率，然后由求出的斜率與點A的坐標寫出直線AB的方程即可；
（2）由B為直線AB與x軸的交點，故令第一問求出的直線AB的方程中的y等于0，求出x的值即為B的橫坐標，確定出B的坐標，進而得到線段OB的中點坐標即為外接圓圓心坐標，線段OB的一半即為圓的半徑，根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，化為圓的一般式方程即可．

解答：解：（1）由△OAB為直角三角形，
得到OA⊥AB，又kOA=

-2-0

4-0

=-

1

2

，
∴k_AB=2，
∴直線AB的方程為y+2=2（x-4），即2x-y-10=0；
（2）由（1）可知：B（5，0）
∴直角△OAB的外接圓的圓心為線段OB的中點（

5

2

，0），r=

5

2

，
∴△OAB的外接圓的方程為(x-

5

2

)2+y2=

25

4

，即x²+y²-5x=0．

點評：此題考查了圓的一般方程，以及直線的一般式方程，要求學生掌握兩直線垂直斜率滿足的關系，會根據一點和斜率寫出直線的方程，會根據圓心和半徑寫出圓的標準方程，同時要求學生掌握直角三角形外接圓的圓心即為斜邊的中點，半徑為斜邊長的一半，掌握此知識是解答第二小題的關鍵．