Question

一串裝飾彩燈由燈泡串聯而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數為（ ）
A．20
B．2¹⁹
C．2²⁰
D．2²⁰-1

Answer 1

【答案】分析：本題是分類計數問題，因為每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，20只燈泡有一只不亮，20只燈泡有二只不亮，以此類推，20只燈泡有20只不亮，把所有的結果相加．
解答：解：由題意知，本題需要分類來解，
∵每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，
∴20只燈泡有一只不亮，有C₂₀¹種結果，
20只燈泡有二只不亮，有C₂₀²種結果，
…
20只燈泡有20只不亮，有C₂₀²⁰種結果，
∴根據分類計數原理知有C₂₀¹+C₂₀²+…+C₂₀²⁰=2²⁰-1．
故選D
點評：本題考查分類計數問題，用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前要進行仔細分析要完成的是什么，可以分類還是需要分步．