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(1)已知A(2,0),B(-1,2),點C在直線2x+y-3=0上,求△ABC重心G的軌跡方程.
(2)如果焦點是F(0,±5
2
)的橢圓截直線3x-y-2=0所得弦的中點橫坐標為
1
2
,求此橢圓方程.
分析:(1)利用三角形的重心坐標公式,求得坐標之間的關系,即可求得△ABC重心G的軌跡方程.
(2)根據焦點坐標得出a2-b2=50,將直線的方程與橢圓的方程組成方程組,消去y得到關于x的方程,再根據根與系數的關系求得AB的中點的橫坐標的表達式,最后根據聯立的方程求出其a,b,即可求橢圓的方程.
解答:解:(1)設△ABC重心G的坐標為(x,y),C(m,n),則
3x=2-1+m
3y=0+2+n

∴m=3x-1,n=3y-2
∵點C在直線2x+y-3=0上,
∴2(3x-1)+(3y-2)-3=0
即6x+3y-7=0
∵A,B,C三點不共線
6x+3y-7=0(x≠
5
4
)

(2)由題意可設橢圓方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),
∵c=5
2
,∴a2-b2=50①
把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0.
設弦的兩個端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則由根與系數的關系可得,x1+x2=
12b2
a2+9b2

由中點坐標公式可得,
12b2
a2+9b2
×
1
2
=
1
2

∴a2=3b2
聯立①②可得,a2=75,b2=25
∴橢圓方程為
x2
25
+
y2
75
=1
點評:本題考查代入法求軌跡方程,考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的綜合問題,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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已知A(-2,0),B(2,0),動點P滿足∠APB=θ,且|PA|•|PB|cos2
θ2
=4

(1)求動點P的軌跡C;
(2)設過M(0,1)的直線l(斜率存在)交P點軌跡C于P、Q兩點,B1、B2是軌跡C與y軸的兩個交點,直線B1P與B2Q交于點S,試問:當l轉動時,點S是否在一條定直線上?若是,請寫出這直線的方程,并證明你的結論;若不是,請說明理由.

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已知A(-2,0)、B(2,0),點C、點D依次滿足|
AC
|=2,
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)

(1)求點D的軌跡方程;
(2)過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點,線段MN的中點到y軸的距離為
4
5
,且直線l與點D的軌跡相切,求該橢圓的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•佛山一模)已知A(-2,0),B(2,0),C(m,n).
(1)若m=1,n=
3
,求△ABC的外接圓的方程;
(2)若以線段AB為直徑的圓O過點C(異于點A,B),直線x=2交直線AC于點R,線段BR的中點為D,試判斷直線CD與圓O的位置關系,并證明你的結論.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系下,已知A(2,0),B(0,2),C(cos2x,sin2x),f(x)=
AB
AC

(1)求f(x)的表達式和最小正周期;
(2)當0<x<
π
2
時,求f(x)的值域.

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