Question

（2013•佛山一模）已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=

3

，求△ABC的外接圓的方程；
（2）若以線段AB為直徑的圓O過點C（異于點A，B），直線x=2交直線AC于點R，線段BR的中點為D，試判斷直線CD與圓O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）法1：設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，依題意，求得D，E，F即可；
法2：可求得線段AC的中點為（-

1

2

，

3

2

），直線AC的斜率為k₁=

3

3

及線段AC的中垂線的方程，從而可求△ABC的外接圓圓心及半徑為r；
法3：可求得|OC|=2，而|OA|=|OB|=2，從而知△ABC的外接圓是以O為圓心，2為半徑的圓；
法4：直線AC的斜率為k₁=

3

3

，直線BC的斜率為k₂=-

3

，由k₁•k₂=-1⇒AC⊥BC，⇒△ABC的外接圓是以線段AB為直徑的圓；
（2）設點R的坐標為（2，t），由A，C，R三點共線，而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），則4n=t（m+2）可求得t=

4n

m+2

，繼而可求得直線CD的方程，于是可求得圓心O到直線CD的距離d=r，從而可判斷直線CD與圓O相切．

解答：解：（1）法1：設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
由題意可得

4-2D+F=0 4+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

，解得D=E=0，F=-4，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²-4=0，即x²+y²=4．-----------------（6分）
法2：線段AC的中點為（-

1

2

，

3

2

），直線AC的斜率為k₁=

3

3

，
∴線段AC的中垂線的方程為y-

3

2

=-

3

（x+

1

2

），
線段AB的中垂線方程為x=0，
∴△ABC的外接圓圓心為（0，0），半徑為r=2，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
法3：∵|OC|=

(1-0)2+( 3 -0)2

=2，而|OA|=|OB|=2，
∴△ABC的外接圓是以O為圓心，2為半徑的圓，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
法4：直線AC的斜率為k₁=

3

3

，直線BC的斜率為k₂=-

3

，
∴k₁•k₂=-1，即AC⊥BC，
∴△ABC的外接圓是以線段AB為直徑的圓，
∴△ABC的外接圓方程為x²+y²=4．-----------------（6分）
（2）由題意可知以線段AB為直徑的圓的方程為x²+y²=4，設點R的坐標為（2，t），
∵A，C，R三點共線，
∴

AC

∥

AR

，----------------（8分）
而

AC

=（m+2，n），

AR

=（4，t），則4n=t（m+2），
∴t=

4n

m+2

，
∴點R的坐標為（2，

4n

m+2

），點D的坐標為（2，

2n

m+2

），-----------------（10分）
∴直線CD的斜率為k=

n- 2n m+2

m-2

=

(m+2)n-2n

m2-4

=

mn

m2-4

，
而m²+n²=4，∴m²-4=-n²，
∴k=

mn

-n2

=-

m

n

，-----------------（12分）
∴直線CD的方程為y-n=-

m

n

（x-m），化簡得mx+ny-4=0，
∴圓心O到直線CD的距離d=

4

m2+n2

=

4

4

=2=r，
所以直線CD與圓O相切．-----------------（14分）

點評：本題考查圓的一般方程，考查圓的方程的確定，突出考查直線與圓的位置關系，考查圓心到直線的距離，考查推理分析與運算能力，屬于難題．