Question

手表的表面在一平面上．整點1，2，…，12這12個數字等間隔地分布在半徑為1的圓周上．從整點i到整點i+1的向量記作

titi+1

，則

t1t2

•

t2t3

+

t2t3

•

t3t4

+…+

t12t1

•

t1t2

=

12

3

-18

．

Answer 1

分析：把圓分成12份，每一份所對應的圓心角是30度，用余弦定理計算出每個向量的模的平方都是2-

3

，而所求向量的夾角都是30度，求出其中一個數量積，乘以12個即得可到結果．

解答：解：：∵整點把圓分成12份，
∴每一份所對應的圓心角是30度，
連接相鄰的兩點組成等腰三角形底邊平方為 2-

3

，每對向量的夾角為30°，
每對向量的數量積為 （ 2-

3

）cos30°=

3

-

3

2

，故

t1t2

•

t2t3

+

t2t3

•

t3t4

+…+

t12t1

•

t1t2

=12（

3

-

3

2

）=12

3

-18，
故答案為 12

3

-18．

點評：本題是向量數量積的運算，條件中沒有直接給出兩個向量的模和兩向量的夾角，只是題目所要的向量要應用圓的性質來運算，把向量的數量積同解析幾何問題結合在一起，屬于
中檔題．