Question

如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：

（1）l是⊙O的切線；

（2）PB平分∠ABD.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）連結OP,通過證明OP//BD得OP⊥l.，從而l是⊙O的切線；（2）連結AP，由（1）知l是⊙O的切線所以∠BPD=∠BAP，又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.

試題解析：（1）連結OP，

因為AC⊥l，BD⊥l，      所以AC//BD.

又OA=OB，PC=PD，     所以OP//BD，從而OP⊥l.

因為P在⊙O上，      所以l是⊙O的切線. ...........5分

（2）連結AP，

因為l是⊙O的切線，      所以∠BPD=∠BAP. 

又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，

所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD.    .........10分

考點：圓的切線、幾何證明選講.