Question

21、 選修1：幾何證明選講
如圖，設AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證：
（1）l是⊙O的切線；
（2）PB平分∠ABD．

Answer 1

分析：（1）連接OP，由AC與BD都與直線l垂直，得到AC與BD平行，由AB與l不相交得到四邊形ABDC為梯形，又O為AB中點，P為CD中點，所以OP為梯形的中位線，根據梯形中位線性質得到OP與BD平行，從而得到OP與l垂直，而P在圓上，故l為圓的切線；
（2）由（1）得到l為圓的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠BPD=∠BAP，又根據等角的余角相等即可得到∠PBA=∠PBD，即PB為角平分線．

解答：證明：（1）連接OP，因為AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD．
又OA=OB，PC=PD，
所以OP∥BD，從而OP⊥l．
因為P在⊙O上，所以l是⊙O的切線．
（2）連接AP，因為l是⊙O的切線，
所以∠BPD=∠BAP．
又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，
所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．

點評：此題考查了切線的判定，梯形中位線性質及直線與圓的位置關系．證明切線時：有點連接圓心與這點，證明垂直；無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，是經常連接的輔助線．