Question

設向量

a

與

b

的夾角為θ，

a

=(3，3)，2

b

-

a

=(-1，1)，若直線2x-y-8=0沿向量

b

平移，所得直線過雙曲線

x2

m2

-

y2

22

=1的右焦點，（i）cosθ=

3 10

10

；（ii）雙曲線

x2

m

-

y2

22

=1的離心率e=

2 3

3

．

Answer 1

分析：（i）先設

b

=(x，y)，由已知可求x，y，代入向量的夾角公式可求
（ii）直線2x-y-8=0沿向量

b

平移即是把直線向右平移1個單位，向上平移2個單位，可求平移后的直線方程，令y=0可求焦點，結合雙曲線的性質可求m，進而可求離心率

解答：解：（i）設

b

=(x，y)
∵2

b

-

a

=(2x-3，2y-3)=(-1，1)
∴x=1，y=2，

b

=(1，2)
cosθ =

1×3+2×3

1+4 • 9+9

=

3 10

10

（ii）∵直線2x-y-8=0沿向量

b

平移即是把直線向右平移1個單位，向上平移2個單位，所得直線y=2x-8
∵y=2x-8過雙曲線

x2

m2

-

y2

22

=1的右焦點，則可得右焦點F（4，0）
∴m²+4=16，m²=12
∴雙曲線

x2

m2

-

y2

22

=1的離心率e=

12+4

2 3

=

2 3

3

故答案為：

3 10

10

；

2 3

3

點評：本題主要考查了向量的坐標表示的應用，夾角公式的應用及雙曲線性質的簡單應用．