Question

已知向量

OA

=(sinθ，-1)，

OB

=(x，cosθ)
（1）若θ=

π

4

，x∈[1，3]，求函數f(x)=

OA

•

OB

的值域；
（2）若x=

3

，θ∈(

π

2

，π)，求函數g(θ)=

OA

•

OB

的最大值，并求此時的|

AB

|．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的運算求得函數的解析式，把θ的值代入，進而利用x的范圍確定y的范圍．
（2）利用向量的數量積的運算求得函數的解析式，把x的值代入，利用兩角和公式化簡整理利用θ的范圍和正弦函數的性質求得函數的最大值，利用向量的基本知識求得|

AB

|．

解答：解：（1）f(x)=

OA

•

OB

=sinθx-cosθ=

2

2

x-

2

2

∵x∈[1，3]，
∴

2

2

x-

2

2

∈[0，

2

]，即函數的值域為[0，

2

]
（2）g(θ)=

OA

•

OB

═sinθx-cosθ=

3

sinθ-cosθ=2sin（θ-

π

6

）
∵θ∈(

π

2

，π)
∴

π

3

≤θ-

π

6

≤

5π

6

∴[g（θ）]_max=2，此時|

AB

|=1

點評：本題主要考查了三角函數的最值，向量的數量積的運算．解題的關鍵是求得函數的解析式，利用函數的單調性求得答案．