Question

已知等式sin²30°+sin²30°+sin²30°•sin²30°=，sin²40°+sin²20°+sin²40°•sin²20°=
（1）觀察上述式子的特點，歸納出一般的結論；
（2）證明歸納出的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察所給的等式，等號左邊是sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°、sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°…規律應該是sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）；右邊的式子：，寫出結果．
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）利用三角函數的差角公式化得sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）整理得sin²α+cos²α，即可得證．
解答：解：（1）觀察等式：
sin²30°+sin²30°+sin30°•sin30°=，sin²40°+sin²20°+sin40°•sin20°=，…，
照此規律，可以得到的一般結果應該是
sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）=，
（2）sin²α+sin²（60°-α）+sinαsin（60°-α）
=sin²α+（sin60°cosα-cos60°sinα）²+sinα（sin60°cosα-cos60°sinα）
=sin²α+cos²α+sin²α-sinαcosα+sinαcosα-sin²α
=sin²α+cos²α=．得證．
點評：本題考查類比推理，考查對于所給的式子的理解，從所給式子出發，通過觀察、類比、猜想出一般規律，該題著重考查了類比的能力．