Question

一個計算裝置，J₁，J₂是數據入口，C是計算結果的出口，計算過程是由J₁，J₂分別輸入自然數m和n，經過計算后得自然數k由C輸出，此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質：

①若J₁、J₂分別輸入1，則輸出結果為1；

②若J₁輸入任何固定自然數不變，J₂輸入自然數增大1，則輸出結果比原來增大2；

③若J₂輸入1，J₁輸入自然數增大1，則輸出結果為原來的2倍。

試問：(1)若J₁輸入1，J₂輸入自然數n，輸出結果為多少?

(2)若J₂輸入1

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答案：
解析：

由題意，設f(m，n)=k，則f(1，1)=1，f(m，n+1)=f(m，n)+2，f(m+1，1)=2f(m，1)。     (I)在f(m，n+1)=f(m，n)+2中，令m=1，則有    f(1，n+1)=f(1，n)+2。       由此可知f(1，1)，f(1，2)，…，f(1，n)，…組成以f(1，1)為首項，2為公差的等差數列。    ∴f(1，n)=f(1，1)+2(n－1)=2n－1。 (Ⅱ)∵f(m+1，1)=2f(m，1)， ∴f(1，1)，f(2，1)，…，f(m，1)，… 組成以f(1，1)為首項，2為公比的等比數列。         ∴f(m，1)=f(1，1)·2m－1=2m－1。 (Ⅲ)f(m，n+1)=f(m，n)+2，    ∴f(m，1)，f(m，2)，…，f(m，n)，… 組成以f(m，1)為首項，2為公差的等差數列。       ∴f(m，n)=f(m，1)+2(n－1)=2m－1+2n－2。

Answer 1

答案：
解析：

由題意，設f(m，n)=k，則f(1，1)=1，f(m，n+1)=f(m，n)+2，f(m+1，1)=2f(m，1)。     (I)在f(m，n+1)=f(m，n)+2中，令m=1，則有    f(1，n+1)=f(1，n)+2。       由此可知f(1，1)，f(1，2)，…，f(1，n)，…組成以f(1，1)為首項，2為公差的等差數列。    ∴f(1，n)=f(1，1)+2(n－1)=2n－1。 (Ⅱ)∵f(m+1，1)=2f(m，1)， ∴f(1，1)，f(2，1)，…，f(m，1)，… 組成以f(1，1)為首項，2為公比的等比數列。         ∴f(m，1)=f(1，1)·2m－1=2m－1。 (Ⅲ)f(m，n+1)=f(m，n)+2，    ∴f(m，1)，f(m，2)，…，f(m，n)，… 組成以f(m，1)為首項，2為公差的等差數列。       ∴f(m，n)=f(m，1)+2(n－1)=2m－1+2n－2。