Question

圖2-4-1是一個計算裝置示意圖，J₁、J₂是數據入口，C是計算結果的出口，計算過程是由J₁，J₂分別輸入自然數m和n，經過計算后得自然數k由C輸出，此種計算裝置完成的計算滿足以下三個性質：

    ①若J₁、J₂分別輸入1，則輸出結果1；

    ②若J₁輸入任何固定自然數不變，J₂輸入自然數增大1，則輸出結果比原來增大2；

    ③若J₂輸入1，J₁輸入自然數增大1，則輸出結果為原來的2倍．

    試問：（1）若J₁輸入1，J₂輸入自然數n，則輸出結果為多少？

   （2）若J₂輸入1，J₁輸入自然數m，則輸出結果為多少？

   （3）若J₁輸入自然數m，J₂輸入自然數n，則輸出結果為多少？

   

Answer 1

思路分析：本題信息量大，粗看不知如何入手，但若把條件寫成二元函數式，并把它看作某一變量的函數，抽象出等差或等比數列模型，問題便迎刃而解．

    解：(1)由條件①有f(1，1)=1，由條件②知f(m，n+1)=f(m，n)+2，即當m固定時，f(m，n)成等差數列．

    ∴f(m，n)=f(m，1)+2(n-1).

    故f(1，n)=f(1，1)+2(n-1)=2n-1．

     (2)由條件③知f(m+1，1)=2f(m，1)，即f(m，1)是一等比數列．

    ∴f(m，1)=f(1，1)·2^m-1=2^m-1．

     (3)由(1)(2)知f(m，n)=f(m，1)+2(n-1)=2^m-1+2n-2．