Question

已知圓C的方程為x²+y²-2x+4y=0，直線l：2x-y+t=0．
（1）若直線l與圓C相切，求實數t的取值；
（2）若直線l與圓C相交于M，N兩點，且|MN|=

15

，求實數t的取值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：首先化圓為標準方程（x-1）²+（y+2）²=5，
（1）因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式求解；
（2）利用點到直線的距離公式及勾股定理求解．

解答： 解：圓C的方程配方得，（x-1）²+（y+2）²=5，
故圓心為C（1，-2），其半徑r=

5

．
（1）因為直線l與圓C相切，
所以圓心C到直線l的距離等于圓的半徑，
即

|2×1-(-2)+t|

22+(-1)2

=

5

，
整理得|4+t|=5，
解得t=1或t=-9．
（2）由（1）知，圓心到直線l的距離d=

|4+t|

5

，
又因為|MN|=

15

，
所以d=

r2-( |MN| 2 )2

=

( 5 )2-( 15 2 )2

=

5

2

，
故

|4+t|

5

=

5

2

，
整理得|4+t|=

5

2

，
解得t=-

3

2

或t=-

13

2

．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系的應用，屬于中檔題．