Question

(本小題滿分12分)對于定義域為D的函數，若同時滿足下列條件：①在D內單調遞增或單調遞減；②存在區間[]，使在[]上的值域為[]；那么把（）叫閉函數。（1）求閉函數符合條件②的區間[]；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（3）判斷函數是否為閉函數？若是閉函數，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1） [-1，1]   

（2）函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。

（3）。

【解析】本題主要考查通過給定的新定義來解題．這種題重要考查學生的接受新內容的能力

（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，則得到a,b的關系式，進而求解得到a,b的值。

（2）取x₁=1，x₂=10，則f(x₁)==f(x₂)，取x₁=, x₂=, f(x₁)=f(x₂)，即f（x）不是（0，+∞）上的增函數．所以，函數在定義域內既不單調遞增也不單調遞減，從而該函數不是閉函數．即f（x）不是（0，+∞）上的減函數．

(3)根據是閉函數，得到a,b的關系式，結合韋達定理得到結論。

解：（1）由題意，在[]上遞減，則解得所以，所求的區間為[-1，1]   

（2）取則，即不是上的減函數。

取，即不是上的增函數

所以，函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數。

（3）若是閉函數，則存在區間[]，在區間[]上，函數的值域為[]，即，為方程的兩個實根，即方程有兩個不等的實根。當時，有，解得。當時，有，無解。

綜上所述，。----------13分