Question

設函數f（x）=|1-|（x＞0），證明：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，ab＞1．

Answer 1

【答案】分析：方法一：當0＜a＜b，且f（a）=f（b）時，
由f（a）=f（b）?|1-|=|1-|?（1-）²=（1-）²?2ab=a+b≥2得到關于ab的不等式，
解出不等式的解集，由解集確定ab＞1．
方法二：去絕對值號將函數變為分段函數，即f（x）=
由函數的單調性及題設條件得0＜a＜1＜b且-1=1-，
即+=2，將其變形得到2ab=a+b≥2，解此不等式即可得到結論．
解答：證明：方法一：由師意f（a）=f（b）?|1-|=|1-|?（1-）²=（1-）²?2ab=a+b≥2
故ab-≥0，即（-1）≥0，故-1≥0，故ab＞1．
方法二：不等式可以變為f（x）=
對函數進行分析知f（x）在（0，1]上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且-1=1-，
即+=2?a+b=2ab≥2
故ab-≥0，即（-1）≥0，
故-1≥0，即ab＞1
點評：本題考點是絕對值不等式的解法，考查利用絕對值不等式這一工具證明不等式，二者的結合點相當隱蔽，本題需要對題設條件進行轉化證明，請注意體會這里的技巧．